এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ৩.৪
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-3.4
বীজগাণিতিক রাশি
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) :
আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
যদি আমরা ভাজ্যকে 𝑓(x), ভাগফলকে h(x),ভাগশেষকে r ও ভাজককে (x - a) দ্বারা সূচিত করি, তাহলে উপরের সূত্র থেকে পাই,
𝑓(x) = (x - a).h(x) + r এই সূত্রটি a এর সকল মানের জন্য সত্য।
অতএব, 𝑓(x) কে (x - a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ƒ(a). এই সূত্র ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) নামে পরিচিত। অর্থাৎ, ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী ƒ(x) কে (x - a) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য। ভাজক বহুপদী (x - a) এর মাত্রা 1।
প্রতিজ্ঞা : যদি 𝑓(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে 𝑓(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় 𝑓- (b/a)
অনুসিদ্ধান্ত : (x - a), 𝑓(x) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি 𝑓(a) = 0 হয়।
কোনো বহুপদী 𝑓(x), (x - a) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি 𝑓(a) = 0 হয়। এই সূত্র উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) নামে পরিচিত।
অনুসিদ্ধান্ত : ax + ন, a ≠ 0 হলে, রাশিটি কোনো বহুপদী 𝑓(x) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি 𝑓- (b/a) = 0 হয়।
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর :
প্রশ্নঃ 1 : 6x² - 7x + 1
সমাধান : ধরি, 𝑓(x) = 6x² - 7x + 1
∴ 𝑓(1) = 6(1)² - 71 + 1
= 61 - 7 + 1
= 6 - 7 + 1
= 7 - 7 = 0
∴ (x - 1), 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 6x² - 7x + 1
= 6x² - 6x - x + 1
= 6x (x - 1) - 1(x - 1)
= (x - 1) (6x - 1)
= (6x - 1)(x - 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 2 : 3a³ + 2a + 5
সমাধান : ধরি, 𝑓(a) = 3a³ + 2a + 5
∴ 𝑓(-1)= 3(-1)³ + 2(-1) + 5
= - 3 - 2 + 5
= - 5 + 5 = 0
∴ (a + 1), 𝑓(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 3a³ + 2a + 5
= 3a³ + 3a² - 3a² - 3b + 5a + 5
= 3a²(a + 1) - 3b(a + 1) + 5(a + 1)
= (a + 1)(3a² - 3b + 5) (Ans.)
প্রশ্নঃ 3 : x³ - 7xy² - 6y³
সমাধান : এখানে, x কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।
প্রদত্ত রাশিকে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে
ধরি, 𝑓(x) = x³ - 7xy² - 6y³
∴ 𝑓(-y) = (-y)³ - 7.(-y)y² - 6y³
= - y³ + 7y³ - 6y³ = 0
∴ x - (-y) বা, (x + y), 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x³ - 7xy² - 6y³
= x³ + x²y - x²y - xy² - 6xy² - 6y³
= x²(x + y) - xy(x + y) - 6y²(x + y)
= (x + y)(x² - xy - 6y²)
= (x + y)(x² - 3xy + 2xy - 6y²)
= (x + y){x(x - 3y) + 2y(x - 3y)}
= (x + y)(x - 3y)(x + 2y) (Ans.)
প্রশ্নঃ 4 : x² - 5x – 6
সমাধান : ধরি, 𝑓(x) = x² - 5x - 6
∴𝑓(-1) = (-1)² - 5(-1) - 6
= 1 + 5 - 6
= 6 - 6 = 0
∴ x - (-1) বা, (x + 1), 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x² - 5x – 6
= x² + x - 6x - 6
= x(x + 1) - 6(x + 1)
= (x + 1)(x - 6)
= (x - 6)(x + 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 5 : 2x² - x - 3
সমাধান : ধরি, 𝑓(x) = 2x² - x - 3
∴ 𝑓(-1) = 2(-1)² - (-1) - 3
= 2 + 1 - 3
= 3 - 3 = 0
∴{x - (-1)} বা, (x + 1), 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 2x² - x - 3
= 2x² + 2x - 3x - 3
= 2x(x + 1) - 3(x + 1)
= (x + 1)(2x - 3)
= (2x - 3)(x + 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 6 : 3x² - 7x - 6
সমাধান : ধরি, 𝑓(x) = 3x² - 7x - 6
∴ 𝑓(3) = 3.(3)² - 7.(3) - 6
= 3 × 9 - 21 - 6
= 27 - 27 = 0
∴ (x - 3), 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 3x² - 7x - 6
= 3x² - 9x+ 2x - 6
= 3x(x - 3) + 2(x - 3)
= (x - 3)(3x + 2) (Ans.)
প্রশ্নঃ 7 : x³ + 2x² - 5x - 6
সমাধান : ধরি, 𝑓(x) = x³ + 2x² - 5x - 6
∴ 𝑓(-1) = (-1)³ + 2(-1)² - 5(-1) - 6
= - 1 + 2 + 5 - 6
= 7 - 7 = 0
∴ x - (-1) বা, (x + 1), 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x³ + 2x² - 5x - 6
= x³ + x² + x² + x - 6x - 6
= x²(x + 1) + x(x + 1) - 6(x + 1)
= (x + 1)(x² + x - 6)
= (x + 1)(x² + 3x - 2x - 6)
= (x + 1){x(x + 3) - 2(x + 3)}
= (x + 1)(x + 3)(x - 2)
= (x - 2)(x + 1)(x + 3) (Ans.)
প্রশ্নঃ 8 : x³ + 4x² + x - 6
সমাধান : মনে করি, 𝑓(x) = x³ + 4x² + x - 6
∴ 𝑓(1) = (1)³ + 4(1)² + (1) - 6
= 1 + 4 + 1 - 6
= 6 - 6 = 0
∴ (x - 1), 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x³ + 4x² + x - 6
= x³ - x² + 5x² - 5x + 6x - 6
= x²(x - 1) + 5x(x - 1) + 6(x - 1)
= (x - 1)(x² + 5x + 6)
= (x - 1)(x² + 3x + 2x + 6)
= (x - 1){x(x + 3) + 2(x + 3)}
= (x - 1)(x + 3)(x + 2)
= (x - 1)(x + 2)(x + 3) (Ans.)
প্রশ্নঃ 9 : a³ + 3b + 36
সমাধান : মনে করি,𝑓(a) = a³ + 3b + 36
𝑓(- 3) = ( – 3)³ + 3 (– 3) + 36
= – 27 – 9 + 36
= 36 – 36 = 0
∴ a – (– 3) বা, (a + 3), 𝑓(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, a³ + 3b + 36
= a³ + 3a² – 3a² – 9a + 12a + 36
= a²(a + 3) – 3b(a + 3) + 12(a + 3)
= (a + 3) (a² – 3b + 12) (Ans.)
প্রশ্নঃ 10 : a⁴ - 4a + 3
সমাধান : মনে করি,𝑓(a) = a⁴ – 4a + 3
∴𝑓(1) = (1)4 – 4.1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 4 – 4 = 0
∴ (a – 1),𝑓(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, a⁴ – 4a + 3
= a⁴ – a³ + a³ – a² + a² – a – 3b + 3
= a³(a – 1) + a²(a – 1) + a(a – 1) – 3 (a – 1)
= (a – 1) (a³ + a² + a – 3)
= (a – 1) (a³ – a² + 2a² – 2a + 3b – 3)
= (a – 1) {a²(a – 1) + 2a (a – 1) + 3 (a – 1)}
= (a – 1) (a – 1) (a² + 2a + 3)
= (a – 1)² (a² + 2a + 3) (Ans.)
প্রশ্নঃ 11 : a³ - a² - 10a - 8
সমাধান : মনে করি, 𝑓(a) = a³ - a² - 10a - 8
𝑓(-1)= (-1)³ - (-1)² - 10(-1) - 8
= - 1 - 1 + 10 - 8
= - 10 + 10 = 0
∴ a - (-1) বা, (a + 1), 𝑓(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, a³ - a² - 10a - 8
= a³ + a² - 2a² - 2a - 8a - 8
= a²(a + 1) - 2a(a + 1) - 8(a + 1)
= (a + 1)(a² - 2a - 8)
= (a + 1)(a² - 4a + 2a - 8)
= (a + 1){a(a - 4) + 2(a - 4)}
= (a + 1)(a - 4)(a + 2) (Ans.)
প্রশ্নঃ 12 : x³ - 3x² + 4x - 4
সমাধান : ধরি,𝑓(x) = x³ – 3x² + 4x – 4
∴𝑓(2) = (2)³ – 3(2)² + 4.2 – 4
= 8 – 12 + 8 – 4 = 16 – 16 = 0
∴ (x – 2),𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x³ – 3x² + 4x – 4
= x³ – 2x² – x² + 2x + 2x – 4
= x²(x – 2) – x(x – 2) + 2(x – 2)
= (x – 2)(x² – x + 2) (Ans.)
প্রশ্নঃ 13 : a³ - 7a²b + 7ab² - b³
সমাধান : ধরি, 𝑓(a) = a³ - 7a²b + 7ab² - b³
∴ 𝑓(b) = (b)³ - 7(b)².b + 7(b)b² - b³
= b³ - 7b³ + 7b³ - b³ = 0
∴ (a - b), 𝑓(a) এর একটি উৎপাদক।
এখন, a³ - 7a²b + 7ab² - b³
= a³ - a²b - 6a²b + 6ab² + ab² - b³
= a²(a – b) - 6ab(a - b) + b²(a - b)
= (a - b)(a² - 6ab + b²) (Ans.)
প্রশ্নঃ 14 : x³ - x - 24
সমাধান : ধরি, 𝑓(x) = x³ - x - 24
∴ 𝑓(3) = (3)³ - 3 - 24 = 27 - 27 = 0
∴ (x - 3), 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x³ - x - 24 = x³ - 3x² + 3x² - 9x+ 8x - 24
= x²(x - 3) + 3x(x – 3) + 8(x – 3)
= (x - 3)(x² + 3x + 8) (Ans.)
প্রশ্নঃ 15 : x³ + 6x²y + 11xy² + 6y³
সমাধান : ধরি,𝑓(x) = x³ + 6x²y + 11xy² + 6y³
∴𝑓(- y)= (– y)³ + 6(– y)².y + 11(– y).y² + 6y³
= – y³ + 6y³ – 11y³ + 6y³
= 12y³ – 12y³ = 0
∴ x - (– y) বা, (x + y),𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
তাহলে, x³ + 6x²y + 11xy² + 6y³
= x³ + x²y + 5x²y + 5xy² + 6xy² + 6y³
= x² (x + y) + 5xy (x + y) + 6y² (x + y)
= (x + y) (x² + 5xy + 6y²)
= (x + y) (x² + 3xy + 2xy + 6y²)
= (x + y) {x(x + 3y) + 2y(x + 3y)}
= (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (Ans.)
প্রশ্নঃ 16 : 2x⁴ - 3x³ - 3x - 2
সমাধান : ধরি𝑓(x) = 2x⁴ – 3x³ – 3x – 2
∴𝑓(2) = 2.(2)4 – 3.(2)³ – 3.2 – 2
= 32 – 24 – 6 – 2 = 32 – 32 = 0
∴ (x - 2),𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 2x⁴ – 3x³ – 3x – 2
= 2x⁴ – 4x³ + x³ – 2x² + 2x² – 4x + x – 2
= 2x³ (x – 2) + x² (x – 2) + 2x (x – 2) +1 (x – 2)
= (x – 2) (2x³ + 2x + x² + 1)
= (x – 2) {2x (x² + 1) + 1 (x² + 1)}
= (x – 2) (x² + 1) (2x + 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 17 : 4x⁴ + 12x³ + 7x² - 3x - 2
সমাধান : ধরি, 𝑓(x) = 4x⁴ + 12x³ + 7x² - 3x - 2
∴ 𝑓(-1) = 4(-1)4 + 12(-1)³ + 7 (-1)² - 3(-1) - 2
= 4 - 12 + 7 + 3 - 2 = 14 - 14 = 0
∴ x - (-1) বা, (x + 1), 𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, 4x⁴ + 12x³ + 7x² - 3x - 2
= 4x⁴ + 4x³ + 8x³ + 8x² - x² - x - 2x - 2
= 4x³(x + 1) + 8x²(x + 1) - x(x + 1) - 2(x + 1)
= (x + 1)(4x³ + 8x² - x - 2)
= (x + 1){4x²(x + 2) - 1(x + 2)}
= (x + 1)(x + 2)(4x² - 1)
= (x + 1)(x + 2)(2x + 1)(2x - 1)
= (2x - 1)(x + 1)(x + 2)(2x + 1) (Ans.)
প্রশ্নঃ 18 : x⁶ - x5 + x⁴ - x³ + x² - x
সমাধান : ধরি,𝑓(x) = x⁶ – x⁵ + x⁴ – x³ + x² - x
∴𝑓(1)= (1)⁶ – (1)5 + (1)4 – (1)³ + (1)² – 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 3 – 3 = 0
∴ (x – 1),𝑓(x) এর একটি উৎপাদক।
এখন, x⁶ – x⁵ + x⁴ – x³ + x² - x
= x(x5 – x⁴ + x³ – x² + x – 1)
= x{x⁴ (x – 1) + x² (x – 1) + 1(x – 1)}
= x(x – 1) (x⁴ + x² + 1)
= x(x – 1) {(x²)² + 2.x².1 + (1)² – x²}
= x(x – 1) {(x² + 1)² – (x)²}
= x(x – 1) (x² + 1 + x) (x² + 1 – x)
= x(x – 1) (x² + x + 1) (x² – x + 1) (Ans.)
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-3.4
0 Comments:
Post a Comment