এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ১
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-1
বাস্তব সংখ্যা
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) : 1, 2, 3, 4, ........ ইত্যাদি সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা বলে। 2, 3, 5, 7, ...... ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা এবং 4, 6, 8, 9, ......... ইত্যাদি যৌগিক সংখ্যা।
◈ পূর্ণসংখ্যা (Integer) : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাসমূহকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়।
অর্থাৎ ...... -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ........ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা।
◈ ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number) : p, q পরস্পর সহমৌলিক, q ≠ 0 এবং q ≠ 1 হলে, p÷q আকারের সংখ্যাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলে। যেমন : 12, 32, -53 ইত্যাদি ভগ্নাংশ সংখ্যা। p < q হলে ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়।
যেমনঃ 12, 13, 23, 14, .......... ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং 32, 43, 53, 54, .........ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।
◈ মূলদ সংখ্যা (Rational Number) : p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 হলে, p÷q আকারের সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
যেমনঃ 31 = 3, 112 = 5.5, 53 = 1.666... ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা।
◈ অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number) : যে সংখ্যাকে p÷q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p, q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমনঃ √2 = 1.414213 ...., √3 = 1.732...., √5÷2 = 1.58113 ..... ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না।
◈ দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা : মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যাকে দশমিকে প্রকাশ করা হলে একে দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
যেমনঃ 3 = 3.0, 5÷2 = 2.5, 10÷3 = 3.3333 ......, √3 = 1.732 ..... ইত্যাদি দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা।
◈ বাস্তব সংখ্যা (Real Number) : সকল মূলদ সংখ্যা এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা হয়।
◈ ধনাত্মক সংখ্যা (Positive Number) : শূন্য অপেক্ষা বড় সকল বাস্তব সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা বলা হয়।
যেমনঃ 1, 2, 1÷2, 3÷2, √2, 0.415, 0.6..2, 4.120345061, ...... ইত্যাদি ধনাত্মক সংখ্যা।
◈ ঋণাত্মক সংখ্যা (Negative Number) : শূন্য অপেক্ষা ছোট সকল বাস্তব সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়।
যেমনঃ -1, - 2, - 1÷2, - 3÷2, - 2, - 0.415, - 0.6..2, - 4.120345061 ইত্যাদি ঋণাত্মক সংখ্যা।
◈ অঋণাত্মক সংখ্যা (Non-negative Number) : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়।
যেমনঃ 0, 3, 1÷2, 0.612, 1.3., 2.120345......... ইত্যাদি অঋণাত্মক সংখ্যা।
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্ন 1: প্রমাণ কর যে, (ক) √5 (খ) √7 (গ) √10 প্রত্যেকে অমূলদ সংখ্যা
সমাধান : (ক) এখানে, 2² = 4; 3² = 9 এবং (√5)² = 5
সুতরাং √5, 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা।
অতএব, √5 পূর্ণসংখ্যা নয়। অর্থাৎ √5 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা।
মনে করি, √5 মূলদ সংখ্যা।
তাহলে ধরি, √5 = p÷q; যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1.
বা, 5 = p²÷q² ; বর্গ করে
বা, 5q = p²÷q; উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।
এখানে, 5q স্পষ্টত পূর্ণসংখ্যা কিন্তু p²÷q পূর্ণসংখ্যা নয়। কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং, 5q এবং p²÷q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 5q ≠ p²÷q
∴ √5 এর মান p÷q আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না,
অর্থাৎ, √5 ≠ p÷q
অতএব, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)
(খ) এখানে, 4 < 7 < 9
বা, √4 <√7 < √9
বা, 2 <√7 < 3
∴ √7, 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা
অতএব, √7 পূর্ণসংখ্যা নয়, অর্থাৎ √7 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা
মনে করি, √7 মূলদ সংখ্যা।
তাহলে ধরি, √7 = p÷q; যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1
বা, 7 = p²÷q²; উভয় পক্ষকে বর্গ করে
বা, 7q = p²÷q ; উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।
এখানে, 7q স্পষ্টত পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²q পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
∴ 7q এবং p²÷q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 7q ≠ p²÷q
∴ √7 এর মান p÷q আকারে কোনো সংখ্যা হতে পারে না।
অর্থাৎ, √7 ≠ p÷q
অতএব, √7 একটি অমূলদ সংখ্যা (প্রমাণিত)
(গ) এখানে, 9 < 10 < 16
বা, √9 < √10 <√16
বা, 3 < √10 < 4
∴ √10, 3 অপেক্ষা বড় কিন্তু 4 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা।
অতএব, √10 পূর্ণ সংখ্যা নয়, অর্থাৎ √10 মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা
মনে করি, √10 মূলদ সংখ্যা।
তাহলে ধরি, √10 = p÷q; যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1
বা, 10 = p²÷q²; উভয় পক্ষকে বর্গ করে
বা, 10q = p²÷q; উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে।
এখানে, 10q স্পষ্টত পূর্ণ সংখ্যা কিন্তু p²÷q পূর্ণ সংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
∴ 10q এবং p²÷q সমান হতে পারে না। অর্থাৎ 10q ≠ p²÷q
∴ √10 এর মান p÷q আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারে না,
অর্থাৎ √10 ≠ p÷q
অতএব, √10 একটি অমূলদ সংখ্যা (প্রমাণিত)
2। (ক) 0.31 এবং 0.12 এর মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
সমাধান : মনে করি, একটি সংখ্যা, a = 0.30300300030.....
এবং অপর সংখ্যা, b = 0.2020020002......
স্পষ্টত : a ও b উভয়ই দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই 0.31 অপেক্ষা ছোট এবং 0.12 অপেক্ষা বড়
অর্থাৎ, 0.31 > 0.3030030003........ > 0.12
এবং 0.31 > 0.2020020002...... > 0.12
আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা, যা 0.31 এবং 0.12 এর মাঝে অবস্থিত।
নির্ণেয় সংখ্যা, 0.3030030003............
এবং 0.2020020002.............
[ বি. দ্র. : এরূপ অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় করা যায়।]
প্রশ্ন \ 3 \ (ক) প্রমাণ কর যে, যেকোনো বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।
সমাধান : মনে করি, n একটি বিজোড় সংখ্যা
∴ n = 2x - 1; যেখানে x একটি পূর্ণ সংখ্যা
∴ n² = (2x -1)²; উভয়পক্ষকে বর্গ করে
= (2x)² - 2.2x.1 + (1)²
= 4x² - 4x + 1 = 4x(x -1) + 1
এখানে, 4x(x -1) সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ জোড় সংখ্যা।
∴ 4x(x -1) + 1 সংখ্যাটি বিজোড় সংখ্যা।
অতএব, n² বিজোড় সংখ্যা।
সুতরাং সকল বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা (প্রমাণিত)
(খ) প্রমাণ কর যে, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 8 (আট) দ্বারা বিভাজ্য।
সমাধান : মনে করি, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা যথাক্রমে 2x ও 2x + 2
ক্রমিক সংখ্যা দুইটির গুণফল, 2x × (2x + 2); যেখানে x যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ 2x ×(2x + 2) = 2x (2x + 2) = 4x² + 4x = 4x (x + 1)
এখানে, x ও x + 1 দুইটি ক্রমিক সংখ্যা। সুতরাং এদের একটি জোড় সংখ্যা হবেই।
∴ x(x + 1) সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
∴ 4x(x +1) সংখ্যাটি 4 × 2 বা 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
অতএব, দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার গুণফল 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
সুতরাং x এর স্বাভাবিক মান নির্বিশেষে 8 দ্বারা 4x(x +1) সংখ্যাটি বিভাজ্য হবে। (প্রমাণিত)
প্রশ্ন \ 6 \ সদৃশ আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর :
(ক) 2.3˙, 5.23˙5˙
সমাধান : 2.3˙, 5.23˙5˙ আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা যথাক্রমে 0, 1 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 ও 2। সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 হবে আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে যথাক্রমে 1 ও 2 এর ল. সা. গু. 2। অর্থাৎ সদৃশ আবৃত্ত দশমিক সংখ্যার দশমিকের পরে মোট সংখ্যা (1 + 2) = 3টি।
সুতরাং 2. 3˙ = 2.33˙3˙
5.23˙5˙ = 5.23˙5˙
নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশসমূহ : 2.33˙3˙, 5.23˙5˙
(খ) 7.26˙, 4.237˙
সমাধান : 7.26˙ ও 4.237˙ আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা যথাক্রমে 1 ও 2 । এখানে অনাবৃত্ত অঙ্ক সংখ্যা 4.237˙ দশমিকে বেশি এবং এ সংখ্যা হলো 2। তাই সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 হবে। 7.26˙ ও 4.237˙ আবৃত্ত দশমিকে আবৃত্ত অংশের সংখ্যা যথাক্রমে 1 ও 1। 1 ও 1এর ল. সা. গু. হলো 1। তাই সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 হবে।
সুতরাং 7.26˙ = 7.266˙,
4.237˙ = 4.237˙
নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশসমূহ : 7.266˙,4.237˙
(গ) 5.7˙, 8. 3˙4˙, 6.2˙45˙
সমাধান : 5.7˙, 8.3˙4˙ ও 6.2˙45˙ আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা যথাক্রমে, 0, 0 ও 0। এখানে অনাবৃত্ত অঙ্ক সংখ্যা 0। তাই সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 0 হবে। 5.7˙, 8. 3˙4˙ ও 6. 2˙45˙ আবৃত্ত দশমিকে আবৃত্ত অংশের সংখ্যা যথাক্রমে 1, 2 ও 3। 1, 2 ও 3 এর ল.সা.গু. হলো 6। তাই সদৃশ আবৃত্ত দশমিক করতে হলে প্রত্যেকটি দশমিকের আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 6 হবে।
সুতরাং 5.7˙ = 5.7˙77777˙,
8.3˙4˙ = 8. 3˙43434˙ ও 6. 2˙45˙ = 6. 2˙45245˙
নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশসমূহ : 5.7˙77777˙, 8.3˙43434˙ ও 6.2˙45245˙
(ঘ) 12.32, 2.19˙, 4.325˙6˙
সমাধান : 12.32 এ অনাবৃত্ত অংশ বলতে দশমিক বিন্দুর পরে 2টি অঙ্ক এখানে আবৃত্ত অংশ নেই। 2.1দ্ধ9 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1, 4.32দ্ধ5দ্ধ6 এ অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 2। এখানে অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি হলো 2 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা 1 ও 2 এর ল. সা. গু. 2। প্রত্যেকটি দশমিকের অনাবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2 এবং আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা হবে 2।
∴ 12.32 = 12.320˙0˙
2.19˙ = 2.199˙9˙
ও 4.325˙6˙ = 4.325˙6˙
নির্ণেয় আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশসমূহ : 12.320˙0˙, 2.199˙9˙ ও 4.325˙6˙
প্রশ্ন \ 12 \ নিচের কোন সংখ্যাগুলো মূলদ এবং কোন সংখ্যাগুলো অমূলদ লেখ :
(ক) 0.4˙
সমাধান : 0.4˙ = 4÷9
∴ 0.4˙ সংখ্যাটি মূলদ
(খ) √9
সমাধান : √9 = √3² = 3
∴ √9 সংখ্যাটি মূলদ
(গ) √11
সমাধান : √11
∴ √11 সংখ্যাটি অমূলদ
(জ) 5.6˙39˙
সমাধান : 5.6˙39˙ = 5639 - 5÷999 = 5634÷999
∴ 5.6˙39˙ সংখ্যাটি মূলদ
প্রশ্ন \ 14 \ √5 ও √4 দুইটি বাস্তব সংখ্যা।
ক. কোনটি মূলদ ও কোনটি অমূলদ নির্দেশ কর।
খ. √5 ও 4 এদের মধ্যে দুইটি অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় কর।
গ. প্রমাণ কর যে, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা।
সমাধান :
ক. √5 অমূলদ সংখ্যা। কারণ, 5 পূর্ণ বর্গসংখ্যা নয়।
4 মূলদ সংখ্যা। কারণ 4 = 4÷1 আকারে প্রকাশ করা যায় এবং এটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
খ. এখানে, √5 = 2.2360679.........
মনে করি, a = 3.020022000222....
এবং ন = 3.505500555........
স্পষ্টত: a ও b উভয়ই বাস্তব সংখ্যা এবং উভয়ই 5 অপেক্ষা বড় এবং 4 অপেক্ষা ছোট।
অর্থাৎ, √5 < 3.020022000222......... < 4
এবং √5 < 3.505500555............... < 4
আবার, a ও b কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
∴ a ও b দুইটি নির্ণেয় অমূলদ সংখ্যা।
গ. প্রমাণ করতে হবে যে, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা।
প্রমাণ : 2² = 4; 3² = 9 এবং (5)² = 5
সুতরাং √5, 2 অপেক্ষা বড় কিন্তু 3 অপেক্ষা ছোট সংখ্যা।
অতএব, √5 পূর্ণসংখ্যা নয়।
মনে করি, √5 মূলদ সংখ্যা।
তাহলে ধরি, √5 = p÷q; যেখানে p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, q ≠ 0 এবং p, q সহমৌলিক, q > 1.
বা, 5 = p²÷q² ; বর্গ করে
বা, 5q = p²÷q; উভয় পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে
এখানে 5q স্পষ্টত পূর্ণসংখ্যা কিন্তু p²÷q পূর্ণসংখ্যা নয়। কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা ও এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q > 1
সুতরাং 5q এবং p²÷q সমান হতে পারে না, অর্থাৎ 5q ≠ p²÷q
∴ √5 এর মান p÷q আকারের কোনো সংখ্যা হতে পারেনা,
অর্থাৎ, √5 ≠ p÷q
অতএব, √5 একটি অমূলদ সংখ্যা। (প্রমাণিত)
গুরুত্বপূর্ণ বহুনির্বাচনি প্রশ্নোত্তর
1. সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যাকে কি বলে?
[ক] স্বাভাবিক সংখ্যা
[খ] মৌলিক সংখ্যা
[গ] পূর্ণসংখ্যা
✓ বাস্তব সংখ্যা
2. 0.˙4˙5 এর সামান্য ভগ্নাংশ নিচের কোনটি?
[ক] 4÷5
[খ] 9÷20
✓ 511
[ঘ] 9÷11
3. 0.1˙3 কে সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ কর। কোনটি সঠিক?
[ক] 13÷90
[খ] 4÷33
[গ] 13÷99
✓ 215
4. 0.5˙1 এর সামান্য ভগ্নাংশ কোনটি?
✓ 23÷45
[খ] 51÷100
[গ] 1÷2
[ঘ] 33÷99
5. A = {x : x ∈ N এবং 2 < x ≤ 6} সেটটি তালিকা পদ্ধতিতে নিচের কোনটি?
[ক] A = {2, 3, 4, 5, 6}
✓ A = {3, 4, 5, 6}
[গ] A = {2, 3, 4, 5
[ঘ] A = {3, 4, 5}
6. সামান্য ভগ্নাংশে প্রকাশ কর : 2.0˙5.
[ক] 205÷100
[খ] 203÷90
✓ 37÷18
[ঘ] 41÷20
7. মূলদ সংখ্যাটি কোনটি?
[ক] √13
[খ] √14
[গ] √15
✓ √16
8. 0.6˙1 এর সামান্য ভগ্নাংশ কোনটি?
[ক] 2033
✓ 1118
[গ] 61100
[ঘ] 23
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-1
0 Comments:
Post a Comment