SSC গণিত সমাধান সৃজনশীল (Srijonshil) এবং বহুনির্বাচনি (mcq) প্রশ্নের উত্তর অনুশীলনী-১৫ pdf download

এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি

গণিত সমাধান

সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর

অনুশীলনী: ১৫

General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.

SSC General Math Solution

Exercise-15

 ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য

পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি

◈ সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : প্রত্যেক সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল রয়েছে। সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য জ্যামিতিক সূত্র ও উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়। জটিল কোনো জ্যামিতিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত জ্যামিতিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র মনে রাখা আবশ্যক। যথা :

1। আয়তক্ষেত্র; 2। বর্গক্ষেত্র; 3। ত্রিভুজ; 4। সামান্তরিক; 5। ট্রাপিজিয়াম।

◈ ক্ষেত্রফলের একক : ক্ষেত্রফল পরিমাপের জন্য সাধারণত এক একক বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে বর্গ একক হিসেবে গ্রহণ করা হয়। যেমন, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য এক সেন্টিমিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল হবে এক বর্গ সেন্টিমিটার। 

◈ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল :

 চিত্রে, ABCD আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, AB = a একক (যথা, মিটার)

 প্রস্থ, BC = b একক (যথা, মিটার) হলে,

 ∴ ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab বর্গ একক। (যথা, বর্গমিটার) 

◈ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

 চিত্রে ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য

 AB = BC = CD = DA = a একক (যথা, মিটার) হলে,

 ∴ ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² বর্গ একক (যথা, বর্গমিটার) 

অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান

প্রশ্নঃ 1 : ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে; নিচের কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়?

ক. 3cm, 4cm, 5cm

খ. 6cm, 8cm, 10cm

☑ 5cm, 7cm, 9cm

ঘ. 5cm, 12cm, 13cm

 ব্যাখ্যা : 52 + 72 ≠ 92

প্রশ্নঃ 2 : নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর :

 i.  প্রত্যেক সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল রয়েছে

 ii. দুইটি ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান হলেই ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম

 iii. দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে তাদের ক্ষেত্রফল সমান

নিচের কোনটি সঠিক?

ক. i ও ii

☑ i ও iii

গ. ii ও iii

ঘ. i, ii ও iii

 ব্যাখ্যা : (ii) সঠিক নয়। কারণ- দুইটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হলে সর্বসম নাও হতে পারে।

প্রশ্নঃ 5 : প্রমাণ কর যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সামান্তরিক ক্ষেত্রটিকে চারটি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সামান্তরিক ক্ষেত্রটিকে চারটি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে। 

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক। এর AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে চারটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করেছে। 

প্রমাণ করতে হবে যে, △ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র BOC = ∆ ক্ষেত্র COD = ∆ ক্ষেত্র AOD

প্রমাণ :

ধাপসমূহ যথার্থতা

(1) ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

∴ OB = OD এবং OA = OC

(2) ∆BDC এ OC, BD এর উপর মধ্যমা।

∴ △ ক্ষেত্র COD = ∆ ক্ষেত্র BOC ....(i)

(3) ∆ABC এ OB, AC এর উপর মধ্যমা হওয়ায় 

△ ক্ষেত্র BOC = ∆ ক্ষেত্র AOB .............(ii)

(4) AO, BD এর উপর ∆ABD এর মধ্যমা হলে,

△ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র AOD ..............(iii)

(i), (ii) ও (iii) নং হতে পাই,

∴ △ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র BOC = △ ক্ষেত্র COD = △ ক্ষেত্র AOD 

(প্রমাণিত) 

প্রশ্নঃ 8 : একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের এবং সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র একই ভূমির উপর এবং এর একই পাশে অবস্থিত। দেখাও যে, সামান্তরিকক্ষেত্রটির পরিসীমা আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।

সমাধান : সাধারণ নির্বচন : একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের এবং সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র একই ভূমির উপর এবং এর একই পাশে অবস্থিত। দেখাতে হবে যে, সামান্তরিকক্ষেত্রটির পরিসীমা আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।

 

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABEF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ABCD সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা > ABEF আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা। 

প্রমাণ :

ধাপসমূহ যথার্থতা

(1) ABCD সামান্তরিকক্ষেত্র ও ABEF আয়তক্ষেত্র একই ভূমি AB এর উপর এবং একই সমান্তরালযুগল AB ও CF এর মধ্যে অবস্থিত। আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ। 

(2) BCE সমকোণী ত্রিভুজ। BC, BCE সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হওয়ায় BC > BE 

[সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল]

[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু]

(3) এখন, ABEF আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা 

 = 2 (AB + BE)

 = 2 AB + 2 BE

(4) ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা 

 = 2 (AB + BC)

 = 2 AB + 2 BC

(5) যেহেতু BC > BE

∴ 2 AB + 2 BC > 2 AB + 2 BE

অর্থাৎ, ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা > ABEF আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা। (প্রমাণিত)

প্রশ্নঃ 12 : △ABC এ BC ভূমির সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে D ও  E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, 

△ ক্ষেত্র DBC = △ ক্ষেত্র EBC এবং △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE

সমাধান : 

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, △ABC এ BC ভূমির সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে D ও  E বিন্দুতে ছেদ করে। 

প্রমাণ করতে হবে যে, △ ক্ষেত্র DBC = △ ক্ষেত্র EBC এবং △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE

অঙ্কন : B, E; C, D এবং D,  E যোগ করি।

প্রমাণ : 

ধাপসমূহ যথার্থতা

(1) △ ক্ষেত্র DBC ও △ ক্ষেত্র EBC একই ভূমি BC এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও DE এর মধ্যে অবস্থিত।

∴△ ক্ষেত্র DBC = △ ক্ষেত্র EBC

 [উপপাদ্য- 15.1]

(2) আবার, △ ক্ষেত্র BDE ও △ ক্ষেত্র CDE একই ভূমি DE এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও DE এর মধ্যে অবস্থিত।

 [উপপাদ্য- 15.1]

∴ △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE

∴ △ ক্ষেত্র ইউC = △ ক্ষেত্র EBC

 সুতরাং, △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE (প্রমাণিত)

৯ম-১০ম শ্রেণি

সাধারণ গণিত সমাধান

এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।

SSC General Math Solution Download pdf version.

Exercise-15