এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি
গণিত সমাধান
সৃজনশীল এবং বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও উত্তর
অনুশীলনী: ১৫
General Math Guide Srijonshil and MCQ for Class 9-10. SSC General Math Solution MCQ and Srijonshil Question and Answer pdf download.
SSC General Math Solution
Exercise-15
ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য
পাঠ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়াদি
◈ সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : প্রত্যেক সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল রয়েছে। সমতল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য জ্যামিতিক সূত্র ও উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়। জটিল কোনো জ্যামিতিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত জ্যামিতিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র মনে রাখা আবশ্যক। যথা :
1। আয়তক্ষেত্র; 2। বর্গক্ষেত্র; 3। ত্রিভুজ; 4। সামান্তরিক; 5। ট্রাপিজিয়াম।
◈ ক্ষেত্রফলের একক : ক্ষেত্রফল পরিমাপের জন্য সাধারণত এক একক বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে বর্গ একক হিসেবে গ্রহণ করা হয়। যেমন, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য এক সেন্টিমিটার হলে, তার ক্ষেত্রফল হবে এক বর্গ সেন্টিমিটার।
◈ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল :
চিত্রে, ABCD আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, AB = a একক (যথা, মিটার)
প্রস্থ, BC = b একক (যথা, মিটার) হলে,
∴ ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ab বর্গ একক। (যথা, বর্গমিটার)
◈ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
চিত্রে ABCD বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য
AB = BC = CD = DA = a একক (যথা, মিটার) হলে,
∴ ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² বর্গ একক (যথা, বর্গমিটার)
অনুশীলনীর প্রশ্ন ও সমাধান
প্রশ্নঃ 1 : ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে; নিচের কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়?
ক. 3cm, 4cm, 5cm
খ. 6cm, 8cm, 10cm
☑ 5cm, 7cm, 9cm
ঘ. 5cm, 12cm, 13cm
ব্যাখ্যা : 52 + 72 ≠ 92
প্রশ্নঃ 2 : নিচের তথ্যগুলো লক্ষ কর :
i. প্রত্যেক সীমাবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রের নির্দিষ্ট ক্ষেত্রফল রয়েছে
ii. দুইটি ত্রিভুজ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান হলেই ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম
iii. দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে তাদের ক্ষেত্রফল সমান
নিচের কোনটি সঠিক?
ক. i ও ii
☑ i ও iii
গ. ii ও iii
ঘ. i, ii ও iii
ব্যাখ্যা : (ii) সঠিক নয়। কারণ- দুইটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হলে সর্বসম নাও হতে পারে।
প্রশ্নঃ 5 : প্রমাণ কর যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সামান্তরিক ক্ষেত্রটিকে চারটি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সামান্তরিক ক্ষেত্রটিকে চারটি সমান ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক। এর AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে চারটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যে, △ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র BOC = ∆ ক্ষেত্র COD = ∆ ক্ষেত্র AOD
প্রমাণ :
ধাপসমূহ যথার্থতা
(1) ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ OB = OD এবং OA = OC
(2) ∆BDC এ OC, BD এর উপর মধ্যমা।
∴ △ ক্ষেত্র COD = ∆ ক্ষেত্র BOC ....(i)
(3) ∆ABC এ OB, AC এর উপর মধ্যমা হওয়ায়
△ ক্ষেত্র BOC = ∆ ক্ষেত্র AOB .............(ii)
(4) AO, BD এর উপর ∆ABD এর মধ্যমা হলে,
△ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র AOD ..............(iii)
(i), (ii) ও (iii) নং হতে পাই,
∴ △ ক্ষেত্র AOB = ∆ ক্ষেত্র BOC = △ ক্ষেত্র COD = △ ক্ষেত্র AOD
(প্রমাণিত)
প্রশ্নঃ 8 : একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের এবং সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র একই ভূমির উপর এবং এর একই পাশে অবস্থিত। দেখাও যে, সামান্তরিকক্ষেত্রটির পরিসীমা আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।
সমাধান : সাধারণ নির্বচন : একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের এবং সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র একই ভূমির উপর এবং এর একই পাশে অবস্থিত। দেখাতে হবে যে, সামান্তরিকক্ষেত্রটির পরিসীমা আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা অপেক্ষা বৃহত্তর।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABEF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ABCD সামান্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।
প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা > ABEF আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা।
প্রমাণ :
ধাপসমূহ যথার্থতা
(1) ABCD সামান্তরিকক্ষেত্র ও ABEF আয়তক্ষেত্র একই ভূমি AB এর উপর এবং একই সমান্তরালযুগল AB ও CF এর মধ্যে অবস্থিত। আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
(2) BCE সমকোণী ত্রিভুজ। BC, BCE সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হওয়ায় BC > BE
[সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল]
[সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজই বৃহত্তম বাহু]
(3) এখন, ABEF আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা
= 2 (AB + BE)
= 2 AB + 2 BE
(4) ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা
= 2 (AB + BC)
= 2 AB + 2 BC
(5) যেহেতু BC > BE
∴ 2 AB + 2 BC > 2 AB + 2 BE
অর্থাৎ, ABCD সামান্তরিকের পরিসীমা > ABEF আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা। (প্রমাণিত)
প্রশ্নঃ 12 : △ABC এ BC ভূমির সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে,
△ ক্ষেত্র DBC = △ ক্ষেত্র EBC এবং △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE
সমাধান :
বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, △ABC এ BC ভূমির সমান্তরাল যেকোনো সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে, △ ক্ষেত্র DBC = △ ক্ষেত্র EBC এবং △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE
অঙ্কন : B, E; C, D এবং D, E যোগ করি।
প্রমাণ :
ধাপসমূহ যথার্থতা
(1) △ ক্ষেত্র DBC ও △ ক্ষেত্র EBC একই ভূমি BC এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও DE এর মধ্যে অবস্থিত।
∴△ ক্ষেত্র DBC = △ ক্ষেত্র EBC
[উপপাদ্য- 15.1]
(2) আবার, △ ক্ষেত্র BDE ও △ ক্ষেত্র CDE একই ভূমি DE এর উপর এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও DE এর মধ্যে অবস্থিত।
[উপপাদ্য- 15.1]
∴ △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE
∴ △ ক্ষেত্র ইউC = △ ক্ষেত্র EBC
সুতরাং, △ ক্ষেত্র BDE = △ ক্ষেত্র CDE (প্রমাণিত)
৯ম-১০ম শ্রেণি
সাধারণ গণিত সমাধান
এসএসসি পরীক্ষার পূর্ণাঙ্গ প্রস্তুতি।
SSC General Math Solution Download pdf version.
Exercise-15
0 Comments:
Post a Comment